在觀看了法國和意大利國內聯賽🍎總共459個點球的視頻后，《魔鬼經濟學》作者史蒂夫和他的朋友們寫了一篇關于點球的論文。 他們覺得在現實世界中檢驗博弈論可以讓他們獲得獨特的視角，而點球就是現實世界中博弈論最典型的例子。

就像猜硬幣一樣，總是選擇同一個方向顯然是不明智的——只要對手知道你的模式，他們就可以使用相應的策略來擊敗你。 用博弈論的術語來說，就是“純粹的策略不是最優的策略”。 總是選擇相同方向的純策略很直觀，但最優策略解釋起來有點麻煩。 簡而言之，如果對手知道你的策略并與你對弈，而你選擇��某種策略比選擇其他策略獲得更高的利潤，那么這種策🦋略就稱為最優策略。

不過，如果對方知道了你的計謀，那不是就能想辦法讓其立于不敗之地嗎？ 那么足球守門員 撲球 要領，我們來看看一種稱為“混合策略”的方法：罰球球員的策略是擲骰子，然后以 1/3 的概率從三個方向中選擇一個。 即使守門員知道點球是通過擲骰子來決定的，他也沒有辦法選擇向哪個方向擲； 而無論他如何選擇，最終都有1/3的概率撲救，2/3的概率撲丟，最后的結果是點球可以得到2/3*1=2/3點。 這比點球手選擇只在左側踢球的純粹策略要好得多𒁃：守門員知道，如果點球手選擇這樣的純粹策略，他可以向各個方向擊球，這無疑大大增加了概率節省。

在博弈論中，任何具有隨機決策的策略都稱為混合策略。 不同的概率分布對應不同的混合策略：例如點球手可以選擇以2/3的概率向左踢和以1/3的概率向右踢的混合策略。 當然足球守門員 撲球 要領，在這種情況下，守門員只要選擇只打左側，就能以2/3的概率踢球。 撲向正確的方向，所以這個策略不如剛才說的混合策略。 如果考慮純策略和混合策﷽略，在所有零和博🎉弈中，每個人都必須有一個最優策略，每個人都執行相應最優策略的情況稱為納什均衡。

當然，真正的點球不會那么簡單。 最重要的一點是，無論你選擇的方向正確還是錯誤，球都不能保證進不進。 根據Steve論文中的統計，球員向左踢球的進球率比向右踢球的進球率要高：如果球員向左踢球，守門員即使選擇正確，也有63.6%的機會進球；如果球員向左踢球，守門員即使選擇正確，仍有63.6%的機會進球；如果球員向左踢球，守門員即使選擇正確，仍有63.6%的機會進球； 如果他踢到右邊，則為 43.7%。 而且如果守門員選擇了錯誤的球門足球守門員 撲球 要領，也不能保證進球。 根據點球手是向左還是向右踢球，有 5% 和 10% 的概率不得分。

如果將其應💞用到模型中，雖然具體數據不同，但模型的表現與上面提到的簡單模型類似——守門員和點球手都有唯一的最優策略，而且這個策略是混合的戰略。 然而，根據具體的目標率值，選擇哪種混合策略的概率會有所不同。